বাংলায় Nonlinear system

গণিত ও বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে, একটি Nonlinear system এমন একটি পদ্ধতি যা Inout এর পরিবর্তন output পরিবর্তন আনুপাতিক নয়। Nonlinear সমস্যাগুলি প্রকৌশলী, জীববিজ্ঞানী, পদার্থবিজ্ঞানী, গণিতজ্ঞ এবং অন্যান্য অনেক বিজ্ঞানীকে আগ্রহের কারণ কারণ বেশীরভাগ সিস্টেম স্বাভাবিকভাবেই প্রকৃতিহীন নয়। Nonlinear ডাইনামিক্যাল সিস্টেমগুলি, সময়ের সাথে পরিবর্তনগুলি বর্ণনা করে, অনাকাঙ্ক্ষিত, অনির্দেশ্য, বা counterintuitive উপস্থিত হতে পারে অনেক সহজ রৈখিক সিস্টেমের বিপরীতে।

সাধারণত, একটি Nonlinea সিস্টেমের আচরণ গাণিতিকের সমীকরণগুলির একটি Nonlinear সিস্টেম দ্বারা বর্ণিত হয়, যা একযোগে সমীকরণগুলির একটি সেট, যা অজানা (অথবা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে অজানা ফাংশন) একটি বহুপদ ডিগ্রির ভেরিয়েবল হিসাবে উপস্থিত হয়, একের অধিক বা একটি ফাংশন এর যুক্তি যা ডিগ্রী একটি বহুবচন নয়। অন্য কথায়, সমীকরণগুলির একটি অলাইনার সিস্টেমের মধ্যে, সমীকরণগুলি সমাধান করা অজানা ভেরিয়েবলগুলির একটি রৈখিক সংযোজন বা তাদের মধ্যে প্রদর্শিত ফাংশন হিসাবে লেখা যাবে না। সিস্টেমে nonlinear হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, নির্বিশেষে পরিচিত রৈখিক ফাংশন সমীকরণ প্রদর্শিত হয় কিনা। বিশেষত, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রৈখিক হয় যদি এটি অজানা ফাংশন এবং তার ডেরিভেটিভ পদগুলির ক্ষেত্রে রৈখিক হয়, এমনকি যদি এতে প্রদর্শিত অন্যান্য ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে Nonlinear থাকে।

Nonlinear গতিশীল সমীকরণ সমাধান করা কঠিন হিসাবে, nonlinear সিস্টেম সাধারণত লিনিয়ার সমীকরণ (রৈখিকীকরণ) দ্বারা approximated হয়। এটি কিছু নির্ভুলতা এবং ইনপুট মানগুলির জন্য কিছু পরিসরের সাথে ভালভাবে কাজ করে, তবে কিছু আকর্ষণীয় ঘটনা যেমন সলিটনস, বিশৃঙ্খলা, [10] এবং একবচনগুলি রৈখিকীকরণ দ্বারা লুকানো থাকে। এটি অনুসরণ করে যে একটি অলাইনার সিস্টেমের গতিশীল আচরণের কিছু দিকগুলি counterintuitive, অনির্দেশ্য বা এমনকি বিশৃঙ্খল হতে পারে। যদিও এই বিশৃঙ্খল আচরণ র্যান্ডম আচরণ অনুরূপ হতে পারে, এটা আসলে র্যান্ডম নয়। উদাহরণস্বরূপ, আবহাওয়া কিছু দিক বিশৃঙ্খল বলে মনে করা হয়, যেখানে সিস্টেমের এক অংশে সহজ পরিবর্তন জুড়ে জটিল প্রভাব উৎপন্ন করে। এই nonlinearity বর্তমান প্রযুক্তি সঙ্গে সঠিক দীর্ঘমেয়াদী পূর্বাভাস অসম্ভব কারণ এক।কিছু লেখক nonlinear সিস্টেমের অধ্যয়নের জন্য nonlinear বিজ্ঞান শব্দ ব্যবহার। এটি অন্যদের দ্বারা বিতর্কিত:— Stanislaw Ulam

Definitionসংজ্ঞা

গণিতের মধ্যে, একটি রৈখিক মানচিত্র (বা লিনিয়ার ফাংশন) f (x) হল নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে:

অতিরিক্ততা বা superposition নীতি $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
$Homogeneity$ সমজাতিক: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

ক্রমাগত ফাংশন জন্য Additivity সাদৃশ্য কোন যুক্তিযুক্ত α, এবং, কোনো বাস্তব α জন্য একীকরণ বোঝায়। একটি জটিল α জন্য, সাদৃশ্য additivity থেকে অনুসরণ করে না।উদাহরণস্বরূপ, একটি antilinear মানচিত্র additive কিন্তু একক না। বর্ধিততা এবং একচেটিয়া অবস্থা প্রায়ই superposition নীতিতে মিলিত হয়।

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

সমীকরণ হিসাবে ঃ

$f(x)=C$

f (x) একটি রৈখিক মানচিত্র (উপরে বর্ণিত হিসাবে) এবং অন্যথায় nonlinear হয় যদি রৈখিক বলা হয়।সমজাতিক C = 0 যদি সমীকরণকে একক বলা হয়।

সংজ্ঞাটি $f(x)=C$ যে সাধারণ এক্স (x) কোনও sensible mathematical object হতে পারে (number, vector, function, etc.)এবং ফাংশনf (x) আক্ষরিক কোনও ম্যাপিং হতে পারে,

সংযুক্ত সীমাবদ্ধতার সাথে ইন্টিগ্রেশন বা বিচ্ছিন্নতা (such as boundary values), f (x), x এর সাথে বিচ্ছিন্নতা রয়েছে, ফলাফলটি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হতে পারে।

Nonlinear বীজগণিত সমীকরণ

মূল নিবন্ধ: বহুবচন সমীকরণ এবং বহুবচন সমীকরণ সিস্টেমMain articles: Algebraic equation and System of polynomial equations Nonlinear বীজগণিত সমীকরণ, যা বহুবচন সমীকরণ বলা হয়, পলিনোমিয়াল শূন্য থেকে সমান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ $x^{2}+x-1=0\,.$ একটি একক বহুমূল্য সমীকরণের জন্য, সমীকরণের সমাধানের জন্য রুট-ফাইন্ডিং অ্যালগরিদমগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে ( sets of values for the variables that satisfy the equation)যাইহোক, বীজগণিত সমীকরণ সিস্টেম আরও জটিল হয়; তাদের গবেষণায় বীজগণিত জ্যামিতি, আধুনিক গণিতের একটি কঠিন শাখা জন্য একটি প্রেরণা।

Nonlinear পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক/Nonlinear recurrence relations

এটি একটি রৈখিক সিস্টেম না হলে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সিস্টেম nonlinear বলে মনে করা হয়। Nonlinear ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি জড়িত সমস্যা অত্যন্ত বৈচিত্র্যময়, এবং সমাধান বা বিশ্লেষণ পদ্ধতি সমস্যা নির্ভরশীল। অলাইনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির উদাহরণ হল তরল গতিবিদ্যা এবং জীববিজ্ঞানে লোটকা-ভোল্টার সমীকরণগুলির নেভি-স্টোক সমীকরণ।অনাকাঙ্ক্ষিত সমস্যাগুলির সর্বাধিক সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল এটি হল নতুন সমাধানগুলিতে পরিচিত সমাধানগুলিকে একত্রিত করা সম্ভব নয়। রৈখিক সমস্যার ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির একটি পরিবার সুপারপোজিশনের নীতির মাধ্যমে সাধারণ সমাধানগুলি তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।এর একটি ভাল উদাহরণ ডিরিচলেট সীমানা শর্তগুলির সাথে এক-মাত্রিক তাপ পরিবহন, যার সমাধানটি বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাইনাসয়েডগুলির সময়-নির্ভর রৈখিক সমন্বয় হিসাবে লেখা যেতে পারে; এই সমাধান খুব নমনীয় করে তোলে।ননলিনিয়ার সমীকরণগুলির বেশ কয়েকটি খুব নির্দিষ্ট সমাধানগুলি প্রায়ই পাওয়া সম্ভব হয়, তবে একটি অসাধারন নীতির অভাব নতুন সমাধানগুলির নির্মাণকে বাধা দেয়।

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

প্রথম ক্রম সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রায়ই ভেরিয়েবল বিচ্ছেদ দ্বারা ঠিক সমাধানযোগ্য, বিশেষত স্বায়ত্বশাসিত সমীকরণের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, nonlinear সমীকরণ ${\frac {du}{dx}}=-u^{2}$ has $u={\frac {1}{x+C}}$ একটি সাধারণ সমাধান হিসাবে (এবং আপনি নির্দিষ্ট সমাধান হিসাবে u = 0, সাধারণ সমাধান সীমা অনুসারে যখন সিটি অনন্ততায় থাকে)। সমীকরণটি অলাইনার কারণ এটি লেখা যেতে পারে ${\frac {du}{dx}}+u^{2}=0$ এবং সমীকরণের বাম দিকে আপনি এবং তার ডেরিভেটিভগুলির রৈখিক ফাংশন নয়। মনে রাখবেন যদি u²শব্দটি আপনার সাথে প্রতিস্থাপিত হয়, সমস্যাটি লিনিয়ার (সূচকীয় ক্ষয় সমস্যা) হবে।দ্বিতীয় এবং উচ্চতর ক্রম সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (সাধারণত, অলাইনার সমীকরণগুলির সিস্টেমগুলি) কদাচিৎ বন্ধ-ফর্ম সমাধানগুলি উত্পাদন করে, যদিও অন্তর্নির্মিত সমাধান এবং সমাধানহীন সংহতকারীগুলির সমাধানগুলি সম্মুখীন হয়।Nonlinear সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমীকরণের গুণগত বিশ্লেষণ জন্য প্রচলিত পদ্ধতি অন্তর্ভুক্ত:

কোনো সংরক্ষিত পরিমাণ পরীক্ষা, বিশেষ করে হ্যামিল্টনীয় সিস্টেমের মধ্যে
অপচয় পরিমাণ সমান পরিমাণে পরীক্ষা (Lyapunov ফাংশন দেখুন)
টেলর বিস্তার মাধ্যমে লিনিয়ারীকরণ
সহজে ভেরিয়েবল পরিবর্তন অধ্যয়ন
বিভাজন তত্ত্ব
প্রবর্তন পদ্ধতি (এছাড়াও বীজগণিত সমীকরণ প্রয়োগ করা যেতে পারে)

আংশিক পার্থক্যমূলক সমীকরণগুলি/Partial differential equations

Nonlinear আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়ন করার সবচেয়ে সাধারণ মৌলিক পদ্ধতি হল পরিবর্তনশীল (অথবা অন্যথায় সমস্যাটি রূপান্তরিত করা) পরিবর্তন করা যাতে ফলে সমস্যাটি সহজতর (সম্ভবত এমনকি রৈখিক) হয়। কখনও কখনও সমীকরণটি এক বা একাধিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে, যেমন ভেরিয়েবল বিচ্ছেদে দেখা যায়, যা সাধারণ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধানযোগ্য কিনা তা সর্বদা উপকারী।

আরেকটি সাধারণ (যদিও কম গাণিতিক) কৌশল, প্রায়শই তরল এবং তাপ যান্ত্রিক পদে দেখা যায়, নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট সীমানা মান সমস্যাতে একটি সাধারণ, প্রাকৃতিক সমীকরণকে সরল করার জন্য স্কেল বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, (খুব) অলাইনার ন্যাভিয়ার-স্টোক সমীকরণগুলিকে চক্রবর্তী, ল্যামিনার, বৃত্তাকার পাইপের একটি মাত্রিক প্রবাহের ক্ষেত্রে এক রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে সরল করা যেতে পারে; স্কেল বিশ্লেষণ এমন শর্তাদি সরবরাহ করে যা প্রবাহ ল্যামিনার এবং এক মাত্রিক এবং সরলীকৃত সমীকরণ উত্পাদন করে।

অন্যান্য পদ্ধতিগুলি বৈশিষ্ট্যগুলি পরীক্ষা করে এবং সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির জন্য উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে।

পেন্ডুলা/Pendula

Main article: Pendulum (mathematics)

একটি ক্লাসিক, ব্যাপকভাবে পড়া nonlinear সমস্যা মাধ্যাকর্ষণ প্রভাব অধীনে একটি দুল এর গতিবিদ্যা হয়। Lagrangian মেকানিক্স ব্যবহার করে, এটি প্রদর্শিত হতে পারে যে একটি পেন্ডুলাম গতি মাত্রাহীন nonlinear সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0$ যেখানে মাধ্যাকর্ষণটি "নিচের দিকে" এবং $\theta$ নির্দেশ করে, ঠিক পাশে চিত্র হিসাবে দেখানো কোণটিকে পেন্ডুলামটি তার বিশ্রামের অবস্থানের সাথে রূপান্তরিত করে। এই সমীকরণটির "সমাধান" করার একটি পদ্ধতি d/dt একটি সংহতকারী ফ্যাক্টর হিসাবে ব্যবহার করা যা শেষ পর্যন্ত ফলন করবে $\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}$ যা একটি উপবৃত্তিক অবিচ্ছেদ্য জড়িত একটি অন্তর্নিহিত সমাধান। এই "সমাধান" সাধারণত অনেকগুলি ব্যবহার করে না কারণ সমাধানটির বেশিরভাগ প্রকৃতিটি অনির্ধারিত অবিচ্ছেদ্যের মধ্যে লুকানো থাকে C = 2

সমস্যাটির দিকে এগিয়ে যাওয়ার আরেকটি উপায় হল টেলর এক্সপ্যানশনগুলির মাধ্যমে আগ্রহের বিভিন্ন দিকগুলিতে যেকোনো অনাক্রম্যতা (এই ক্ষেত্রে সাইন ফাংশন শব্দ) রৈখিককরণ করা। উদাহরণস্বরূপ, $\theta$ = 0 এ রৈখিকীকরণ, ছোট কোণের আনুমানিকতা বলা হয়, ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0$ যেহেতু, $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ for $\theta \approx \pi$ এই সমস্যাটির সমাধানটি হাইপারবোলিক সিনাসোয়েডগুলির সাথে জড়িত, এবং নোট করুন যে ছোট কোণের আনুমানিকতাটি অসদৃশ, এই আনুমানিকতা অস্থির, যার অর্থ $|\theta |$ সাধারণত সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পাবে, যদিও সীমাবদ্ধ সমাধানগুলি সম্ভব। এটি একটি পেন্ডুলাম সোজা ভারসাম্য অসুবিধা অনুরূপ, এটা আক্ষরিক একটি অস্থির অবস্থা।

One more interesting linearization is possible around

\theta =\pi /2

, around which

\sin(\theta )\approx 1

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.$ এটি একটি বিনামূল্যে পতন সমস্যা অনুরূপ। পেন্ডুলামের গতিবিধিগুলির একটি খুব উপকারী গুণগত চিত্র সঠিকভাবে চিত্রটিতে দেখা যায়, যেমন রৈখিকীকরণগুলি একত্রিত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। অন্যান্য কৌশলগুলি (সঠিক) ফেজ পোর্ট্রেট এবং আনুমানিক সময়ের সন্ধান করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

Nonlinear গতিশীল আচরণের ধরন

Amplitude death – any oscillations present in the system cease due to some kind of interaction with other system or feedback by the same systemপ্রশস্ততা মৃত্যু - সিস্টেমে উপস্থিত যেকোন অচলতা একই সিস্টেমের মাধ্যমে অন্য কোন সিস্টেম বা প্রতিক্রিয়ার সাথে কোন ধরণের যোগাযোগের কারণে বন্ধ হয়ে যায়।

Chaos – values of a system cannot be predicted indefinitely far into the future, and fluctuations বিশৃঙ্খলা - একটি সিস্টেমের মান ভবিষ্যতে অনির্দিষ্টকালের জন্য ভবিষ্যদ্বাণী করা যাবে না এবং উদ্বৃত্ত অপ্রতিরোধ্যare aperiodic

Multistability – the presence of two or more stable states

Solitons – self-reinforcing solitary waves

যদি n এর মান জানো তাহলে তুমি সব জানো। -অজ্ঞাত

লিনিয়ার এলজেব্রা গণিতের লবণের মতো মোটামুটি সব জায়গা দেখতে পাওয়া যায়। যেমন:

Load and displacements in structuresকাঠামো লোড এবং স্থানচ্যুতি
Compatibility in structuresকাঠামোতে সামঞ্জস্য
Finite element analysis (has Mechanical, Electrical, and Thermodynamic applications)ফাইন্যাইট উপাদান বিশ্লেষণ (যান্ত্রিক, বৈদ্যুতিক, এবং থার্মোডাইনামিক অ্যাপ্লিকেশন আছে)
Stress and strain in more than 1-D
Mechanical vibrations
Current and voltage in LCR circuits
Small signals in nonlinear circuits = amplifiers
Flow in a network of pipes
Control theory (governs how state space systems evolve over time, discrete and continuous)
Control theory (Optimal controller can be found using simple linear algebra)
Control theory (Model Predictive control is heavily reliant on linear algebra)
Computer vision (Used to calibrate the camera, stitch together stereo images)
Machine learning (Support Vector Machine)
Machine learning (Principal component analysis)
Lots of optimization techniques rely on linear algebra as soon as the dimensionality starts to increase.
Fit an arbitrary polynomial to some data.
পদার্থ বিজ্ঞানের

Mohammad Mostofa Zaman

বাংলায় Nonlinear system

0 comments:

Post a Comment

Popular Posts

New Research

SAY HELLO TO ME

ADDRESS

EMAIL

TELEPHONE

MOBILE